Macam-macam Penjumlahan Bilangan Berpangkat

Penjumlahan Bilangan Berpangkat- Yang dimaksud bilangan berpangkat adalah suatu bilangan yang berguna untuk menyederhanakan atau mempermudah penulisan serta penyebutan suatu bilangan yang mempunyai faktor-faktor perkalian yang sama. Bilangan berpangkat juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misalnya pada saat pemerintahan mengatur data statistik dan ingin mengetahui berapa jumlah penduduk yang ada didalamnya. Perpangkatan ini dapat digunakan untuk mempermudah pekerjaan tersebut.

Bilangan yang mempunyai pangkat dalam matematika terdiri atas :

1. Bilangan bulat positif (bilangan asli)
2. Pangkat bulat negatif
3. Bilangan pangkat nol
4. pangkat rasional, dan
5. bilangan pangkat riil.

Notasi pangkat tersebut dipakai untuk menuliskan hasil suatu perkalian bilangan berulang dalam bentuk yang lebih sederrhana. Untuk lebih jelasnya simak pembahasan berikut ini.

Penjumlahan Bilangan Berpangkat Positif

Bilangan pangkat positif adalah bilangan yang memiliki pangkat/eksponen positif. Lalu apa itu eksponen? Eksponen adalah nama lain dari pangkat. Bilangan pangkat positif juga mempunyai sifat-sifat tertentu, dimana sifat-sifatnya itu terdiri drai a, b, bilangan real m, n, yang merupakan bilangan bulat positif.

Bilangan Eksponen adalah suatu bentuk bilangan yang sama dan sifat perkaliannya diulang-ulang

Untuk lebih jelasnya simak contoh soal berikut ini dengan seksama:

♥ Contoh Soal

1. Tentukanlah hasil dari perpangkatan berikut 2⁴ + 2⁶ = …..

Jawab: 

2⁴ + 2⁶ = 2⁴ (1+2²)

2⁴ + 2⁶ = 2⁴ x 5

2⁴ + 2⁶ = 5 x 2⁴ (Menjumlahakan sisi kanan dan kiri untuk membuktikan kebenaran)

80 = 80 (Hasil)

Maka hasil dari bilangan pangkat 2⁴ + 2⁶ adalah 80

2. Berapakah hasil dari bilangan pangkat berikut ini? dan buktikanlah jika memang jawabannya benar (3⁵ + 3⁷ = …)

Jawab: 

3⁵ + 3⁷ = 3⁵ (1+3²)

3⁵ + 3⁷ = 3⁵ x 10

3⁵ + 3⁷ = 10 x 3⁵

243 + 2187 = 10 x 243 (Menjumlahakan sisi kanan dan kiri untuk membuktikan kebenaran)

2.430 = 2.430 (Hasil)

Jadi hasil dari bilangan pangkat 3⁵ + 3⁷ adalah 2.430 dan jawaban ini benar karena sisi kanan dan kirinya sama.

3. Dari bilangan pangkat berikut, tentukanlah berapa nilai yang dihasilkan dari bilangan pangkat tersebut               (5² + 6³ =……)

Jawab: 

5² + 6³ = 25 + 192

= 217 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan pangkat 5² + 6³ adalah 217.

4. Hitunglah penjumlahan bilangan pangkat berikut 7² + 7⁴ =………

Jawab: 

7² + 7⁴ = 7² (1+7² )

7² + 7⁴ = 7² x 50

49 + 2.401 = 49 x 50 (Menjumlahakan sisi kanan dan kiri untuk membuktikan kebenaran)

2.450 = 2.450 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan pangkat 7² + 7⁴ adalah 2.450.

5. Tentukanlah hasil dari penjumlahan bilangan pangkat berikut 12² + 10³ = ……

Jawab: 

12² + 10³ = 1.728 + 1000

= 2.728 (Hasil)

Hasil dari penjumlahan bilangan pangkat 12² + 10³ adalah 2.728.

Pangkat Pecahan

Pangkat pecahan menjadi salah satu keluarga besar dari perpangkatan, dan pangkat pecahan memiliki definisi dan rumus tersendiri dalam menyelesaikan permasalahannya, sebagai contoh:

a merupakan bialangan real dan a ≠ 0, serta m adalah bilangan bulat positif, sehingga dapat disimpulkan a^1/m = P, dimana P ini adalah bilangan real positif, sehinggaP^m = a. Untuk lebih jelasnya simak beberapa pembahasan contoh soal berikut ini.

♥ Contoh Soal 

1. Tentukanlah nilai dari bilangan berpangkat berikut 27^1/3 + 16^1/2 = ……..

Jawab: 

27^1/3 + 16^1/2 = (3³)^1/3+ (4²)^1/2 (Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 3 + 4

= 7 (Hasil)

Jadi nilai dari bilangan berpangkat 27^1/3 + 16^1/2 adalah 7.

2. Diketahui sebuah bilangan berpangkat mempunyai nilai sebagai berikut 25^1/2 + 36^1/4 , Maka tentukanlah nilai yang dihasilkan dari bilangan tersebut.

Jawab: 

25^1/2 + 36^1/4 = (5²)^1/2+ (6²)^{1/4  2} (Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 5 + 6²

= 5 + 36

= 41 (Hasil)

Hasil yang diperoleh dari bilangan berpangkat 25^1/2 + 36^1/4 adalah 41.

3. Dalam suatu perpangkatan ditemukan bilangan seperti berikut 125^1/6 + 100^1/2 , maka tentukanlah hasil dari bilangan tersebut.

Jawab: 

125^1/6 + 100^1/2 = (5³)^{1/6 2}+ (10²)^1/2 (Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 5² + 10

= 25 +10

= 35 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan pangkat 125^1/6 + 100^1/2 adalah 35.

4. Tentukanlah hasil dari bilangan pangkat berikut ini 4^1/8 + 16^1/4 =………..

Jawab: 

4^1/8 + 16^1/4 = (2²)^{1/8  4}+ (4²)^{1/4  2} (Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 2⁴ + 4²

= 16 + 16

= 32 (Hasil)

Hasil dari bilangan berpangkat 4^1/8 + 16^1/4 adalah 32.

5. Tentukanlah hasil dari bilangan pangkat berikut ini 144^1/6 + 169^1/8 =……….

Jawab: 

144^1/6 + 169^1/8 = (12²)^{1/6 3}+ (13²)^{1/8 4} (Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 12³ + 13⁴

= 1.728 + 28.561

= 30.289 (Hasil)

Jadi nilai yang dihasilkan dari bilangan 144^1/6 + 169^1/8 adalah 30.289

Bilangan Berpangkat Negatif

Perlu diketahui bahwa tidak semua pangkat itu bernilai positif, beberapa pangkat adalah bilangan bulat yang bernilai negatif, sistem penjumlahan dari perpangkatan bilangan negatif hampir sama konsepnya dengan logaritma. Untuk bilangan yang berpangkat negatif berlaku sifat sebagai berikut:

Jika a ∈ R, a ≠ 0, dan n adalah bilangan yang mempunyai nilai negatif. Untuk lebih jelasnya simak pembahasan soal berikut ini:

♥ Contoh Soal

1.  Tentukanlah hasil dari bilangan pangkat berikut ini 2^-2 + 2^-3 =……

Jawab: 

2^-2 + 2^-3 = 1/2² + 1/2³  (Memasukan persamaan rumus kedalam bilangan)

= 1/4 + 1/8

= 8/32 + 4/32 (Disamakan penyebutnya menggunakan KPK)

= 12/32 (Disederhanakan kembali)

= 3/8 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan 2^-2 + 2^-3 adalah 3/8.

2. Hitung dan tentukanlah hasil dari biolangan pangkat negatif berikut ini 5^-1 + 3^-3 =…….

Jawab: 

5^-1 + 3^-3 = 1/5 + 1/3³ (Memasukan persamaan rumus kedalam bilangan)

= 1/5 + 1/9 (Disamakan Penyebutnya dengan KPK)

= 9/45 + 5/45

= 14/45 (Hasil)

Hasil dari bilangan pangkat negatif 5^-1 + 3^-3 adalah 14/45.

3. Jika diketahui bilangan pangkat negatif seperti ini 3^-2 + 5^-2 dapatkah anda menentukan hasilnya?

Jawab: 

3^-2 + 5^-2 = 1/3² + 1/5² (Memasukan persamaan rumus kedalam bilangan)

= 1/9 + 1/25 (Menyamakan Penyebutnya dengan KPK)

= 25/225 + 9/225

= 34/225 (Hasil)

Hasil yang diperoleh dari bilangan berpangkat negatif 3^-2 + 5^-2 adalah 34/225.

4. Tentukahlah hasil dari bilangan pangkat berikut ini 4^-2 + 2^-4 =………..

Jawab: 

4^-2 + 2^-4 = 1/4² + 1/2⁴ (Memasukan persamaan rumus kedalam bilangan)

= 1/16 + 1/16 (Karena penyebutnya sudah sama tidak perlu dicari lagi KPK nya)

= 2/16 (Disederhanakan kembali)

= 1/8 (Hasil)

Hasil dari bilangan pangkat negatif 4^-2 + 2^-4 adalah 1/8.

5. Jika diketahui bilangan berpangkat negatif seperti ini (7^-2 + 3^-3) berapakah nilai yang dihasilkan?

Jawab: 

7^-2 + 3^-3 = 1/7² + 1/3³(Memasukan persamaan rumus kedalam bilangan)

= 1/49 + 1/9 (Menyamakan Penyebutnya dengan KPK)

= 9/441 + 49/441

= 58/441 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan berpangkat negatif 7^-2 + 3^-3 adalah 8/441.

Penjumlahan Bilangan Berpangkat Sama

Dalam dunia perpangkatan tidak hanya membahas pangkat positif, negatif bahkan pecahan, namun dalam aturannya ada juga perpangkatan dengan nilai pangkat yang sama, ada yang memiliki koefisien sama dengan pamngkat sama dan ada pula suatu bilangan yang koefisiennya berbeda namun bilangan pangkatnya sama.

Lalu bagaimana untuk menyelesaikan penjumlahan dengan bilangan pangkat yang sama? Simak pembahasan soal dibawah ini dengan seksama.

♥ Contoh Soal

1. Tentukanlah hasil dari bilangan pangkat berikut ini 4² + 5² =………

Jawab: 

4² + 5² = 16 + 25

= 41 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan pangkat 4² + 5² adalah 41.

2. Berapakah nilai yang dihasilkan dari bilangan berpangkat berikut ini (12² + 13² =……)

Jawab: 

12² + 13² = 144 + 169

= 313 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dario bilangan pangkat tersebut adalah 313.

3. Tentukanlah nilai dari bilangan berpangkat berikut 2^-2 + 4^-2 =……..

Jawab: 

2^-2 + 4^-2 = 1/2² + 1/4² (Memasukan persamaan rumus kedalam bilangan)

= 1/4 + 1/16 (Penyebutnya disamakan dengan KPK)

= 4/16 + 1/16

= 5/16 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan pangkat 2^-2 + 4^-2 adalah 5/16.

4. Berapakah hasilnya, jika diketahui dari bilangan pangkat berikut ini (4^1/4 + 16^1/4 =……)

Jawab: 

4^1/4 + 16^1/4 = (2²)^{1/4 2}+ (4²)^{1/4  2} (Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 2² + 4²

= 4 + 16

= 20 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari bilangan berpangkat 4^1/4 + 16^1/4 adalah 20.

5. Tentukanlah nilai dari bilangan perpangkatan berikut ini (4^1/2 + 25^1/2 =…….)

Jawab: 

4^1/2 + 25^1/2 = (2²)^1/2+ (5²)^1/2(Mengalikan silang perpangkatan untuk menyederhanakan pangkat)

= 2 + 5

= 7 (Hasil)

Nilai yang dihasilkan dari perpangkatan 4^1/2 + 25^1/2 aedalah 7.

Menjumlahkan Bilangaan Berpangkat Nol

Dalam matematika ada juga yang dikenal dengan bilangan berpangkat nol. Sebelumya kita sudah membahas mengenai beberapa bentuk perpangkatan beserta penjelasannya, berikut ini kita akan membahas mengenai bilangan berpangkat nol. Penasaran bagaimana sih penjabarannya? Berikut penjelasnanya.

Sebelumnya kita sudah mengetahui bahwa berapapun bilangannya jika dipangkatkan dengan nol maka menghasilkan nilai 1. seperti contoh dibawah ini:

2⁰ = 1

3⁰ = 1

100⁰ = 1

5000⁰ = 1

Dalam rumus juga dijelaskan bahwa , sehingga muncullah sifat untuk nilai yang berpangkat nol adalah

Jika a merupakan bilangan riil dan a sama dengan tidak nol, maka

Jadi dapat disimpulkan bahwa berapapun bilangannya baik besar, kecil, satuan, puluhan, ratusan bahkan ribuan jika dipangkatkan dnegan nol, maka akan menghasilkan satu.

Penutup

Itulah penjelasan mengenai penjumlahan bilangan berpangkat pada matematika, semoga dengan adanya artikel ini kita semua dapat menambah ilmu serta menambah wawasan baru. Dan semoga dengan adanya artikel ini dapat membantu kita semua untuk memahaminya secara detail lagi.

Selamat mencoba dan mengerjakan penjumlahan bilangan berpangkat.

Terimakasih