Sifat-sifat Logaritma- Ilmu mengenai logaritma dalam mata pelajaran matematika biasanya sering muncul pada saat ujian tiba, materi logaritma ini dipelajari pada saat kelas 10 dan di matangkan lagi pada kelas 12 SMA.
Untuk dapat menjawab pertanyaan dan soal-soal tentang logaritma siswa-siswi SMA harus memahami logaritma itu seperti apa? Bagaimana bentuknya? Apa saja sifat-sifatnya? Semua itu harus mereka pahami agar mereka dapat menjawab soal-soal dengan mudah dan benar.
Berikut ini akan dijelaskan mengenai logaritma simak terus pembahasanya dengan baik ya!
Contents
Pengertian Logaritma
Logaritma merupakan kebalikan dari suatu perpangkatan. Sebagai contoh jika suatu perpangkatan ac = b, maka dapat dinyatakan bahwa dalam logaritma sebagai berikut:
alog b = c
Pada penulisan logaritma alog b = c dapat disimpulakn sebagai berikut:
- a= Disebut bilangan pokok
- b= Bilangan numerus atau bilangan yang dicari nilai logaritmanya (b > 0)
- c= Merupakan hasil dari logaritma.
Sebagai contoh:
Jika nilai a sama dengan 10, biasanya 10 dituliskan sehingga menjadi log b = c jika bilangan pokoknya merupakan bilangan 2 (hasil eurel) dengan e= 2,7645283 maka penulisan logaritma nya ditulis dengan logaritma natural dan penulisannya dapat disingkat menjadi in, misalnya elog b = c.
In b= c
Perlu diketahui juga bahwa sebenarnya logaritma merupakan invers (kebalikan) dari eksponen (Perpangkatan). Ini menunjukan bahwa logaritma masih ada kaitannya dengan eksponen terutama pada saat membahas materi invers suatu fungsi.
Secara umum pula logaritma dibagi menjadi tiga kelompok diantaranya bilangan pokok (basis), numerus dan hasil pada logaritma.
Bentuk Umum Logaritma dan Definisinya
Bentuk umum logaritma dan definisinya merupakan materi dasar yang harus anda kuasai pada tahap awal-awal pengenalan logaritma. Dengan mengetahui bentuk dan definisi umum dari logaritma anda akan mudah untuk mempelajari dan memahami hal-hal yang berkaitan dengan logaritma. Berikut penjelasan mengenai bentuk umum dari logaritma.
Jika alog x = n, dan sebaliknya jika alogx = n maka x=an. Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
alog x = n ⇔ x=an
Dengan penjelasan:
- a: Bilangan basis atau bilagan pokok, a>0 ; a≠1
- x: Hal yang dicari nilai logaritmanya, x≠>1
- n: Hasil logaritma
Dibawah ini contoh hubungan antara pemangkatan (eksponen) dengan logaritma:
Perpangkatan logaritma:
- 2¹ = 2 2log2 = 1
- 20 = 1 2log1 = 0
- 2³ = 8 2log8 = 3
- 5³ = 125 5log1000 = 3
- 10³ = 1000 Log 1000 = 3
Sifat-sifat Logaritma
Dibawah ini adalah sifat-sifat logaritma yang akan saya tuliskan dalam bentuk tabel logaritma. Berikut penjelasannya.
Jika a>0, a ≠ 1, m ≠ 1, b>0 dan c>0, maka berlaku:
|
Dari rumus diatas yang sudah dijelaskan ada beberapa rumus yang harus anda hafalkan, beberapa rumus tersebut diantaranya sebagai berikut:
Sifat Logaritma dari Perkalian
Sifat logaritma dari perkalian adalah sebuah hasil dari penjumlahan kedua logaritma lain, maka nilai kedua dari numerusnya merupakan salah satu faktor dari nilai numerus awal.
alog m . n = alog m + alog n
Syarat yang harus dipenuhi untuk sifat ini adalah: a>0, a / ne 1, m>0, n>0.
Perkalian Logaritma
Perkalian logaritma merupakan salah satu dari sifat-sifat logaritma, sebagai contoh logartima a yang dapat dikalikan degan logaritma b jika memiliki nilai numerus logaritma a sama dengan nilai bilangan pokok logaritma b.
Hasil dari perkalian tersebut merupakan logaritma baru degan nilai bilangan pokok sama dengan logaritma a. Dan memiliki nilai numerus yang sama dengan logaritma b.
alog b x alog c = alog c
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1.
Pembagian Logaritma
Sifat selanjutnya dari logaritma yaitu pembagian, pembagian adalah hasil; dari pengurangan dua logaritma lain dimana ilai kedua numerus nya merupakan pecahan atau pembagian dari nilai numerus logaritma awal.
alog m/n = alog m – alog n
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1, m>0, n>0.
Sifat Berbanding Terbalik
Sifat logaritma berbanding terbalik adalah sebuah sifat logaritma yang memiliki nilai bilangan pokok serta numerusnya bertukaran.
alog b = 1/alog b
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a / ne 1.
Berlawanan Tanda Pada Logaritma
Sifat logaritma berlawanan tanda merupakan sebuah sifat dengan logaritma yang memiliki numerus nya yakni adalah pecahan terbalik dari nilai numerus logaritma awal.
alog (b/c) = – alog (c/b)
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1, m>0, n>0.
Sifat dari perpangkatan
Sifat logaritma dari perpangkatan adalah sifat dengan nilai numerusnya adalah sebuah eksponen (pangkat). Serta dapat dijadikan sebagai logaritma baru mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pengali.
a log bm = m. alog b
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1.
Perpangkatan Bilangan Pokok Logaritma
Sifat perpangkatan bilangan pokok logaritma adalah sebuah sifat yang mana nilai bilangan pokoknya adalah sebuah pangkat (eksponen) yang dapat dijadikan sebagai logaritma baru dengan mengeluarkan pangkatnya menjadi bilangan pembagi.
amlog b = 1/ amlog b
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1.
Bilangan Pokok Logaritma Sebanding Perpangkatan Numerus
Sifat bilangan pokok sebanding dengan perpangkatan numerus adalah suatu sifat dengan nilai numerusnya dimana sebuah pangkat (eksponen) dari nilai bilangan pokoknya yang mempunyai hasil yang sama dengan nilai pangkat numerus tersebut.
alogam = m
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, dan a /ne 1.
Perpangkatan
Sifat perpangkatan logartitma merupakan salah satu sifat -sifat logaritma yang ada. sifat perpangkatan memiliki nilai pangkat bentuk logaritma. Hasil dari nilai pangkatnya merupakan nilai dimana numerusnya berasal dari logaritma tersebut.
aalog b = b
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1, b>0.
Mengubah Basis Logaritma
Sifat mengubah basis logaritma ini juga dapat dipecah menjadi perbandingan dua logaritma. berikut penjabarannya
alog b = mlog b / mlog a
Syarat yang harus dipenuhi yaitu: a>0, a /ne 1, a>0, b>0.
Pembahasan dan Contoh Soal Logaritma
Berikut ini adalah beberapa contoh soal yang berkaitan dnegan sifat-sifat logaritma, untuk lebih jelasnya berikut penjabarannya.
♦ Penjumlahan Logaritma
1. Tentukanlah Nilai dari 2log 16 + 2log 8 = ……
a. 6
b. 7
c. 8
d. 9
Jawaban: B
Penyelesaian:
2log16 + 2log8
= 2log24 + 2log23
= 4 2log2 + 3 2log2
= 4 . 1 + 3 . 1
= 7
Jadi nilai dari 2log 16 + 2log 8 adalah 7
2. Sederhanakanlah Bilangan berikut ini 2log4 + 2log16 / 2log8 =
a. 5
b.12
c. 9
d. 2
Jawaban: D
Penyelesaian:
= 2log22 + 2log24 / 2log23
= 2 2log2 +4 2log2 / 3 2log2
= 2 + 4 / 3
= 2
Maka nilai dari 2log4 + 2log16/2log8 adalah 2
♦ Perkalian Logaritma
3. Tentukanlah nilai dari 3log27 . 2log32 + 3log81 / 2log4 . 2log64 =……..
a. 9/2
b. 8/3
c. 12/19
d. 10/4
Jawaban: B
Penyelesaian:
(3log27 . 2log32 + 3log81) / ( 2log4 . 2log64)
= (3log33 . 2log25 + 3log34) / (2log22 . 2log26)
= (3 3log3 . 5 2log2 + 4 3log3) / (2 2log2. 6 2log2)
= (3 . 5 + 4) / (2.6)
= (19/12 )
= (8/3)
Maka, hasil nilai dari 3log27 . 2log32 + 3log81 / 2log4 . 2log64 adalah 8/3.
4. Hitunglah nilai logartitma dari 2log25 . 5log3 . 3log32 = …….
a. 20
b. 18
c. 14
d. 10
Jawaban: D
Penyelesaian:
2log25 . 5log3 . 3log32
= (2log5² . 5log3) . (3log25)
= 2 . 5 (2log5. 5log3 . 3log2)
= 10 (2log3 . 3log2)
= 10 (2log2)
= 10
Maka nilai dari 2log25 . 5log3 . 3log32 adalah 10
♦ Contoh Soal Logaritma Hasil Desimal
5. Jika log3 = 0.442 dan log2= 0.230 maka tentukanlah nilai dari log24
a. 0.8891
b. 0.5439
c. 0.0053
d. 0.0035
Jawaban: C
Penyelesaian:
log24= log6 . log4
log24= (log3 . log2) . (log2 . log2)
log24= (0.442 . 0.230) . 2. (0.230)
log24= 0.0053
Jadi nilai dari log24 adalah 0.0053.
Penutup
Itulah penjelasan artikel mengenai sifat-sifat logaritma serta pembahasan soalnya. semoga dengan adanya artikel ini dapat membantu anda dan para pembaca lainnya untuk dapat memahami lebih luas lagi tentang logaritma.
Terimakasih banyak saya ucapkan kepada para pembaca dimanapun anda berada dan selalu pantau terus ya artikel-artikel selanjutnya.
Sekian.
