Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Persamaan Linear Tiga Variabel-Persamaan linear tiga variabel merupakan bentuk perkembangan atau bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Pada sistem linear tiga variabel ini terdapat tiga persamaan dimana masing-masing persamaan memiliki tiga variabel yang sama, sebagi contoh (x,y dan z). Berbeda dengan Sistem persamaan linear dua variabel dimana pada sistem tersebut terdapat dua persamaan dan setiap persamaan memiliki dua variabel, sebagai contoh (x dan y).

Untuk lebih memahami mengenai materi persamaan linear tiga variabel, berikut ini kami jabarkan dan jelaskan mengenai materi persamaan linear tiga variabel. simak baik-baik penjelasannya ya!

Definisi dan Bentuk Umum Persamaan Linear Tiga Variabel

Sudah dijelaskan diatas bahwa persamaan linear tiga variabel merupakan hasil dari perluasan sistem persamaan linear dua variabel. namun ada yang membedakan diantara kedua sistem ini. Untuk lebih memahaminya, berikut penjelasannya.

♦ Bentuk Umum

Bentuk umum dari persamaan linear tiga variabel (SPLTV) biasanya ditulis dengan variabel x,y dan z dan memiliki persamaan seperti dibawah ini:

♦ Ciri-Ciri

Persaman linear tiga variabel dapat dikatakan sebagai persamaan linear tiga variabel jika memiliki ciri-ciri berikut ini:

Ciri-ciri SPLTV:

• Mempergunakan relasi = (sama dengan)
• Mempunyai tiga variabel didalamnya
• Variabel dari persamaan hanya memiliki derajat satu (hanya berpangkat satu saja)

♦ Komponen Persamaan Linear Tiga Variabel

Terdapat empat komponen penting yang selalu berkaitan dengan persamaan linear tiga variabel, apa sajakah itu? Berikut penjelasannya.

Suku

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku akan dipisahkan dengan tanda baca penjumlahannya atau pengurangannya.

Koefisien

Koefisien merupakan suatu bilangan yang dapat menyatakan banyaknya suatu variabel yang sejenis.

Variabel

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dapat dilambangkan dengan huruf x, y dan z.

Konstanta

Konstanta adalah adalah suatu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap sama atau konstan untuk berapapun nilai variabelnya (peubahnya).

Cara Menyelesaikan Persamaan Linear Tiga Variabel

Ada beberapa cara yang dapat dilakukan untuk menyelesaikan soal dari persamaan linear tiga variabel, untuk itu simak baik-baik penjelasanya berikut ini.

♦ Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi ada beberapa cara yang dilakukan yaitu:

1. Memilih bentuk peubah atau bentuk variabel nya yang paling sederhana
2. Mengeliminasi (menghilangkan) salah satu peubahnya (contohnya y) sehingga anda dapatkan SPLDV nya.
3. Hilangkan kembali salah satu peubah SPLDV nya (sebagai contoh x), sehingga anda akan mendapatkan salah satu peubahnya.
4. Eliminasi kembali peubah lainnya untuk mendapatkan nilai z
5. Menentukan nilai peubah yakni (x) menggunakan nilai yang sudah diketahui (y dan z).

Untuk lebih jelasnya dapat anda lihat di contoh soal pembahasan.

♦ Metode Substitusi

Berikut ini akan dijelaskan menyelesaikan soal menggunakan metode Substitusi:

1. Anda harus memilih salah satu persamaan yang sangat sederhana, lalu dinyatakan sebagai fungsi dari y dan z, atau sebagai fungsi x dan z, atau bisa juga dinyatakan dalam fungsi x dan y.
2. Substitusikan nilai x atau y atau z yang anda dapatkan ditahap sebelumnya dalam kedua persamaan yang lainnya.
3. Menyelesaikan SPLDV yang terdapat pada no ke dua.

Untuk lebih jelasnya dapat anda lihat di contoh soal pembahasan.

♦ Metode Gabungan

Pada proses gabungan ini dengan cara mencari nilai dari eliminasi atau substitusi, setelah anda mendapatkan nilainya lalu anda langsung masukan nilai tersebut kedalam persamaan yang sudah ada. Sehingga anda kan mendapatkan hasil dari persamaan tersebut. Untuk lebih jelasnya dapat anda lihat dalam contoh soal.

Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel

Berikut ini ada beberapa contoh soal yang dapat anda bahas dan anda pahami mengenai persamaan linear tiga variabel. Simak-baik-baik ya penjelasannya!

♦ Contoh Soal Mencari Harga Satuan

1.Riska, Rani dan Yanti adalah tiga bersahabat, suatu hari mereka pergi ke pasar untuk membeli sebuah peralatan sekolah. Riska membeli 2 pensil, 4 Buku tulis isi 100 dan 1 penggaris dengan harga Rp. 32.000,00 Rani juga membeli 2 pensil, 4 Buku tulis isi 100 dan 4 penggaris dengan harga Rp. 40.000,00 dan Yanti juga membeli peralatan sekolah dengan 2 pensil, 2 Buku tulis isi 100 dan 2 penggaris dengan harga Rp. 26.000,00. Tentukanlah harga satuan dari pensil, buku tulis isi 100 dan penggaris?

Penyelesaian:

Dik:

Pensil = x
Buku Tulis = y
Penggaris = z

Dit: Harga satuan dari Pensil, Buku tulis dan Penggaris?

Jawab:

Model Matematika:

2x + 4y + z   = 32.000  (Persamaan 1)
2x + 4y + 4z = 40.000  (Persamaan 2)
2x + 2y + 2z = 22.000  (Persamaan 3)

Mengeliminasi persamaan ( 1 dan 2) Sehingga,

2x + 4y + z   = 32.000  | x1 |2x + 4y + z   = 32.000
2x + 4y + 4z = 40.000  | x1 |2x + 4y + 4z = 40.000  –
⟺ -4z = -8.000
⟺ z = 2.000

Mengeliminasi persamaan ( 2 dan 3) Sehingga,

2x + 4y + 4z = 40.000  | x1 |2x + 4y + 4z = 40.000
2x + 2y + 2z = 22.000  | x1 |2x + 2y + 2z = 22.000  –
⟺ 2y + 2z = 18.000

Substitusi nilai y = 2.000 ke persamaan 2y + 2z = 18.000

• 2y + 2z = 18.000
  ⟺2y+ 2(2.000) = 18.000
  ⟺ 2y + 4.000 = 18.000
  ⟺ 2y = 18.000 – 4.000
• ⇔2y = 14.000
  ⟺ y = 14.000/2
  ⟺ y = 7.000

Substitusikan nilai y dan z kedalam satu persamaan:

2x + 4y + 4z = 40.000 

• ⟺2x+ 4y + 4z= 40.000
  ⟺ 2x+ 4(7.000) + 4(2.000) = 40.000
  ⟺ 2x+ 28.000 + 8.000= 40.000
• ⟺2x+ 36.000 = 40.000
  ⟺ 2x = 40.000-36.000
  ⟺ x = 2.000

Maka, harga dari satu pensil, buku tulis isi 100 dan penggaris adalah

• x = 2.000 (Harga satu pensil)
• Y = 7.000 (Harga satu Buku tulis isi 100)
• Z = 2.000 (Harga satu buah penggaris).

♦ Contoh Soal Mencari Harga Gabungan

2. Ada 4 orang anak laki-laki yang bernama Dadan, Firdaus, Taufik dan Khairun, suatu hari mereka pergi bersama ke sebuah swalayan untuk membeli perlengkapan bahan praktek untuk tugas mata pelajaran IPA di sekolahnya. Dadan membeli 2 baterai, 6 buah bola lampu dan 3 saklar dengan harga Rp. 42.000,00, Firdaus  membeli satu baterai, 3 buah bola lampu, dan 3 buah saklar dengan harga Rp. 30.000,00, Taufik membeli 2 buah baterai, satu buah bola lampu dan 6 buah saklar dengan harga Rp. 48.000,00. Jika Khairun membeli 4 buah baterai, 2 buah bola lampu dan 3 buah saklar, berapa uang yang harus dibayarakan Khairun?

Penyelesaian:

Dik:

Baterai = x
Bola Lampu = y
Saklar = z

Dit: Harga dari 4x + 2y + 3z…..?

Jawab:

Model Matematika:

2x + 6y + 3z   = 42.000  (Persamaan 1)
x + 3y + 3z   = 30.000  (Persamaan 2)
2x +   y + 6z   = 48.000  (Persamaan 3)

Mengeliminasi persamaan ( 1 dan 2) Sehingga,

2x + 6y + 3z   = 42.000  | x1 |2x + 6y + 3z   = 42.000
x + 3y + 3z   = 30.000  | x2 |2x + 6y + 6z   = 60.000  –
⟺ -3z = -18.000
⟺ z = 6.000

Mengeliminasi persamaan ( 2 dan 3) Sehingga,

x + 3y + 3z   = 30.000  | x2 |2x + 6y + 6z = 60.000
2x +   y + 6z   = 48.000  | x1 |2x +   y + 6z = 22.000  –

⟺ 6y = 18.000
⟺ y = 3.000

Substitusi nilai y = 3.000 dan z = 6.000 ke salah satu persamaan

2x + 6y + 3z   = 42.000 

• 2x + 6y + 3z   = 42.000
  ⟺2x+ 6(3.000) + 3(6.000) = 42.000
  ⟺ 2x + 18.000 + 18.000 = 42.000
  ⟺ 2x + 36.000 = 42.000
• ⟺ 2x = 42.000 – 36.000
  ⟺ x = 6.000/2
  ⟺ x = 3.000

Substitusikan nilai y dan z kedalam satu persamaan yang ditanya (Gabungan):

4x + 2y + 3z

⟺4(3.000)+ 2(3.000) + 3(6.000)
⟺ 12.000 + 6.000 + 18.000
⟺ 36.000

Jadi, Uang yang harus dibayarkan oleh Khairun adalah sebesar Rp. 36.000.

♦ Contoh Soal Menggunakan Persamaan 4 dan 5

3. Suatu hari ada penjual buah-buahan di pasar, pada saatu itu pembeli pertama membeli 4 kg jambu, 2 kg mangga dan 3 kg mentimun dan membayar sebesar Rp. 68.000,00, lalu tidak lama pembeli kedua datang dan membeli 2 kg jambu, 4 kg mangga dan 3 kg mentimun dan membayar sebesar Rp. 42.000,00. Kemudia datang lagi pembeli yang ketiga dengan membeli 8 kg jambu, 2 kg mangga dan 12 kg mentimun dengan harga Rp. 100.000,00. Tentukanlah harga buah jambu, mangga dan mentimun perkilogramnya.

Penyelesaian:

Dik:

Jambu = x
Mangga = y
Mentimun = z

Dit: Harga satuan dari Jambu, Mangga dan Mentimun?

Jawab:

Model Matematika:

2x + 2y + z   = 67.000  (Persamaan 1)
3x +   y + z   = 61.000  (Persamaan 2)
x + 3y + 2z  = 80.000  (Persamaan 3)

Mengeliminasi persamaan ( 1 dan 2) Sehingga,

2x + 2y + z   = 67.000  | x1 |
3x +   y + z   = 61.000  | x1 |   –    
⟺ -x + y = -6.000 (Persamaan 4)

Mengeliminasi persamaan ( 2 dan 3) Sehingga,

3x +    y + z   = 61.000  | x2 |6x + 2y + 2z = 122.000
x + 3y + 2z  = 80.000  | x1 | x  + 3y + 2z =   80.000  –
⟺ 5x – y  = 42.000 (Persamaan 5)

Substitusikan persamaan (4 dan 5) -x + y = -6.000 dan 5x – y = 42.000

• 5x – y = 42.000
  -x + y = 6.000  +
  4x        = 48.000
  x = 12.000

Jika -x + y = 6.000 maka

• ⇔-x + y = 6.000
  ⟺ -12.000 + y = 6.000
  ⟺ y = 6.000 + 12.000
• ⟺ y = 18.000

Substitusikan nilai y dan z kedalam satu persamaan:

2x + 2y + z   = 67.000 

• ⟺2x + 2y + z   = 67.000
  ⟺ 2(12.000) + 2(18.000) + z = 67.000
  ⟺ 24.000 + 36.000 + z = 67.000
• ⟺ z  = 67.000 – 60.000
  ⟺ z = 7.000

Maka, harga perkilogram dari buah jambu, manga dan mentimun adalah

• X  = 12.000 (Harga 1 kg Jambu)
• Y  = 18.000 (Harga 1 kg Mangga)
• Z  = 7.000   (Harga 1 kg Mentimun).

Penutup

Demikianlah pembahasan mengenai Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, semoga dengan adanya artikel ini dapat membantu anda dan para pembaca lainnya dalam memahami dan menjawab persoalan-persoalan yang berkaitan dengan materi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

Selamat mencoba dan mengerjakan.

Terimakasih.